Question

已知函數f（x）=ax+1-lnx，其中a∈R是常數．
（1）若曲線y=[f（x）]²在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）求函數f（x）的極值；
（3）試討論直線y=-x+e（e為自然對數的底數）與曲線y=f（x）公共點的個數．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的極值

專題：綜合題,導數的概念及應用

分析：（1）求導數，確定切線的斜率，即可求a的值；
（2）求導數，確定函數的單調性，即可求函數f（x）的極值；
（3）記g（x）=f（x）-（-x+e）=（a+1）x+（1-e）-lnx，則直線y=-x+e與曲線y=f（x）公共點的個數，
即函數g（x）零點的個數．分類討論，可得結論．

解答： 解：（1）y/=2f(x)•f/(x)=2(ax+1-lnx)(a-

1

x

)…（1分）
依題意，y′|_x=1=2（a+1）（a-1）=0…（2分），解得a=±1…（3分）
（2）f/(x)=a-

1

x

，x＞0．
a≤0時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，無極值…（4分）
a＞0時，由f′（x）=0得x=

1

a

…（5分）
當0＜x＜

1

a

時f′（x）＜0，當x＞

1

a

時f′（x）＞0…（6分），
所以f（x）在x=

1

a

處取得極小值，極小值為f(

1

a

)=2+lna…（7分）
（3）記g（x）=f（x）-（-x+e）=（a+1）x+（1-e）-lnx，則直線y=-x+e與曲線y=f（x）公共點的個數，
即函數g（x）零點的個數．g/(x)=(a+1)-

1

x

a≤-1時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減，且值域為R，有一個零點…（8分）
a＞-1時，由g′（x）=0得x=

1

a+1

…（9分）
當0＜x＜

1

a+1

時，g′（x）＜0，當x＞

1

a+1

時g′（x）＞0…（10分），
所以f（x）在x=

1

a+1

處取得極小值，極小值為g(

1

a+1

)=(2-e)+ln(a+1)…（11分）
當g(

1

a+1

)=(2-e)+ln(a+1)＞0，即a＞e^e-2-1時，g（x）無零點…（12分）
當g(

1

a+1

)=(2-e)+ln(a+1)=0，即a=e^e-2-1時，g（x）有一個零點…（13分）
當g(

1

a+1

)=(2-e)+ln(a+1)＜0，即-1＜a＜e^e-2-1時，g（x）有兩個零點．
綜上所述，a≤-1或a=e^e-2-1時，直線y=-x+e與曲線y=f（x）有一個公共點；-1＜a＜e^e-2-1時，有兩個公共點；a＞e^e-2-1時，無公共點…（14分）．

點評：本題考查利用導數研究曲線上某點切線方程，考查函數的極值，考查函數的零點，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．