Question

如圖，四邊形ABCD中（圖1），E是BC的中點，DB=2，DC=1，BC=

5

，AB=AD=

2

，將（圖1）沿直線BD折起，使二面角A-BD-C為60°（如圖2）
（1）求證：AE⊥平面BDC；
（2）求直線AE與平面ADC所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）先根據(jù)條件得到BD⊥平面AEM；進而通過求邊長得到AE⊥ME；即可得到結(jié)論；
（2）先建立空間直角坐標系，求出平面ADC的法向量的坐標，再代入向量的夾角計算公式即可．

解答： （1）證明：如圖1取BD中點M，連接AM，ME．
∵AB=AD=

2

，
∴AM⊥BD
∵DB=2，DC=1，BC=

5

，
DB²+DC²=BC²，
∴△BCD是BC為斜邊的直角三角形，BD⊥DC，
∵E是BC的中點，∴ME為△BCD的中位線
∴ME∥CD，ME=

1

2

CD，
∴ME⊥BD，ME=

1

2

，
∴∠AME是二面角A-BD-C的平面角，
∴∠AME=60°…（3分）
∵AM⊥BD，ME⊥BD且AM、ME是平面AME內(nèi)兩相交于M的直線，
∴BD⊥平面AEM∵AE?平面AEM，
∴BD⊥AE
∵AB=AD=

2

，DB=2，
∴△ABD為等腰直角三角形，
∴AM=

1

2

BD=1，
∴AAE²=AM²+ME²-2AM•ME•cos∠AME=

3

4

，
∴AE=

3

2

，
∴AE²+ME²=1=AM²，
∴AE⊥ME=M，
∴BD∩ME，BD?平面BDC，ME?面BDC，
∴AE⊥平面BDC   …（6分）
（2）解：如圖2，以M為原點MB為x軸，ME為y軸，建立空間直角坐標系M-xyz，
則由（1）及已知條件可知B（1，0，0），E（0，

1

2

，0），A（0，

1

2

，

3

2

），D（-1，0，0），C（-1，1，0），
∴

DA

=（1，

1

2

，

3

2

），

DC

=（0，1，0），

AE

=（0，0，-

3

2

），…（8分）
設(shè)平面ACD的法向量為

n

=（x，y，z）
則

x+ 1 2 y+ 3 2 z=0 y=0

，∴

n

=（

3

，0，-2），
設(shè)直線AE與平面ADC所成角為α，則sinα=

3

7 • 3 2

=

2 7

7

  …（10分）
∴直線AE與平面ADC所成角的正弦值為

2 7

7

       …（12分）

點評：本題主要考察線面垂直的證明以及二面角的求法．一般在證明線面垂直時，先轉(zhuǎn)化為證明線線垂直．進而得到線面垂直．