Question

15．已知函數(shù)f（x）=sinωx+$\sqrt{3}$cosωx（x∈[0，$\frac{π}{2}$]），若ω=1，則函數(shù)f（x）的值域為[$\frac{1}{2}$，1]；若f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]為增函數(shù)，則ω的取值范圍是[0，$\frac{1}{3}$]．

Answer 1

分析 先利用輔助角公式對函數(shù)解析式進(jìn)行化簡當(dāng)ω=1，求得f（x）的值域，進(jìn)而根據(jù)正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)求得ω的范圍．

解答 解：f（x）=sinωx+$\sqrt{3}$cosωx
=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$）（x∈[0，$\frac{π}{2}$]），
當(dāng)ω=1，f（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$），
x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
由函數(shù)的圖象可知：f（x）的值域為[$\frac{1}{2}$，1]；
∵∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴當(dāng)-$\frac{π}{2}$≤ωx+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$，
∴$-\frac{5π}{6ω}$＜x＜$\frac{π}{6ω}$，
在[0，$\frac{π}{2}$]為增函數(shù)，
∴[$-\frac{5π}{6ω}$，$\frac{π}{6ω}$]?[0，$\frac{π}{2}$]，
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{5π}{6ω}＜0}\\{\frac{π}{6ω}≥\frac{π}{2}}\end{array}\right.$∴$0＜ω≤\frac{1}{3}$，
故答案為：[$\frac{1}{2}$，1]、[0，$\frac{1}{3}$]．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角函數(shù)恒等變換的運(yùn)用．注意數(shù)形結(jié)合的思想運(yùn)用．