Question

16．直線y=-x+b與曲線y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$有且只有兩個公共點，則b的取值范圍是2≤b＜2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由曲線y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$變形為x²+y²=4（y≥0），畫出y=x+b，x²+y²=4（y≥0）圖象．當(dāng)直線經(jīng)過點（-2，0），（0，2）時，直線與曲線有兩個公共點，求出此時b．再求出當(dāng)直線與曲線相切時b的值即可．

解答 解：由曲線y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$變形為x²+y²=4（y≥0）
畫出y=x+b，x²+y²=4（y≥0）圖象，
①當(dāng)直線經(jīng)過點（-2，0），（0，2）時，直線與曲線有兩個公共點，此時b=2．
②當(dāng)直線與曲線相切時，聯(lián)立直線y=-x+b與曲線y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$，
化為2x²+2bx+b²-4=0，令△=4b²-8（b²-4）=0，解得b=2$\sqrt{2}$．
因此，當(dāng)2≤b＜2$\sqrt{2}$時，直線與曲線有兩個公共點．
∴b的取值范圍是2≤b＜2$\sqrt{2}$．
故答案為：2≤b＜2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了由條件的直線與圓相交相切問題、數(shù)形結(jié)合等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題．