Question

7．某工廠要建造一個長方體形無蓋貯水池，其容積為4800m³，深為3m，如果池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元，設(shè)長方體底面長為xm，由于地形限制，0＜x≤a，水池總造價為f（x）元．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）分別計算池底與池壁的造價，可得f（x）的解析式；
（2）分類討論，利用基本不等式及函數(shù)的單調(diào)性，可求f（x）的最小值．

解答 解：（1）因水池底面一邊的長度為xm，則另一邊的長度為$\frac{4800}{3x}$m，--（1分）
根據(jù)題意，得f（x）=150×$\frac{4800}{3}$+120（2×3x+2×3×$\frac{4800}{3x}$）=240000+720（x+$\frac{1600}{x}$）
∴所求的函數(shù)表達(dá)式為：f（x）=720（x+$\frac{1600}{x}$）+240000（0＜x≤a）-----------（6分）
（2）由（1）得，a≥40，f（x）=720（x+$\frac{1600}{x}$）+240000≥720×2$\sqrt{x•\frac{1600}{x}}$+240000-----------（9分）
=720×2×40+240000=297600．-----------（10分）
當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{1600}{x}$，即x=40時，f（x）有最小值297600．
a＜40時，y=x+$\frac{1600}{x}$在（0，a]上單調(diào)遞減，∴x=a時，f（x）有最小值720（a+$\frac{1600}{a}$）+240000（---12分）

點評 本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查利用基本不等式求最值，考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，屬于中檔題．