如圖，△ABC是圓O的內接三角形，PA是圓O的切線，PB交AC于點E，交圓O于點D，已知PE=PA，∠ABC=60°，PD=1，BD=8．
（1）求證：∠AEP=60°；
（2）求BC．
考點：與圓有關的比例線段,弦切角
專題：立體幾何
分析：（1）先依據(jù)PA是圓O的切線利用切割線定理求得線段PA的長度，進而求得PE，再利用等邊三角形中的邊的關系求得：∠AEP=60°．
（2）由（1）求出BE，利用相交弦定理求得線段CE的長．再由∠BEC=60°，利用余弦定理能求出BC的值．
解答： （1）證明：∵PA是圓O的切線，PDB是圓O的割線，
∴PA2=PD•PB，又PD=1，BD=8，
∴PA=3，
又PE=PA，∴PE=3．
∵PA是圓O的切線，∴∠PAE=∠ABC=60°，
又PE=PA，∴△PAE是等邊三角形，
∴∠AEP=60°．
（2）解：∵PE=3．∴DE=PE-PD=2，∴BE=BD-DE=6．
由相交弦定理，得AE•CE=BE•DE，∴CE=4．
∵∠BEC=60°，
∴BC=
BE2+CE2-2BE•CE•cos60°

=
36+16-2×6×4×
1
2
=2
7
．
點評：本題考查的與圓有關的比例線段、切割線定理、相交弦定理、余弦定理的綜合運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知|
a
|=2，|
b
|=3，
a
與
b
的夾角為θ，且tan（
π
4
+θ）=-2-
3
，求
a
•
b
與|
a
-
b
|的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

方程x2+（k-2）x+5-k=0的兩根都大于2，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖是一個正方體紙盒的表面展開圖，那么圖中AB、CD在原正方體中所成的角度是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某城市隨機抽取一個月（30天）的空氣質量指數(shù)API監(jiān)測數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結果如下：
API[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]（300，350]
空氣質量優(yōu)良輕微污染輕度污染中度污染中度重污染重度污染
天數(shù)2459433
（Ⅰ）根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計該城市這30天空氣質量指數(shù)API的平均值；
（Ⅱ）若該城市某企業(yè)因空氣污染每天造成的經濟損失S（單位：元）與空氣質量指數(shù)API（記為w）的關系式為：
S=
0，0≤w≤100
4w-400，100＜w≤300
2000，300＜w≤350

若在本月30天中隨機抽取一天，試估計該天經濟損失S大于200元且不超過600元的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設m、n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，給出下列四個命題：
①若m⊥α，n∥α，則m⊥n； 
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ；
③若m⊥α，n⊥α，則m∥n； 
④若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β．
其中正確命題的序號是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知|
a
|=4，|
b
|=8，
a
與
b
的夾角為120°，則|4
a
-2
b
|=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某縣電業(yè)局對農村進行農網改造后，其用電收費標準如下：每戶每月用電不超過60度時，每度為0.47元，當用電超過60度時，超過部分每度0.52元，某月甲、乙兩用戶共交電費y元，已知甲、乙兩用戶該月用電量分別為2x，3x．
（1）寫出y關于x的函數(shù)解析式；
（2）若甲、乙兩用戶該月共交電費77.2元，分別求出甲、乙兩用戶該月的用電量．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對實數(shù)a，b定義運算“?”：a?b=
a(b+1)，a≥b
b(a+1)，a＜b
，則（2tan
5π
4
）?cos
7π
3
+lg100?（
1
3
）-1=
 
．

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