Question

若不等式x²+ax+1≥0對(duì)一切x∈（0，

1

2

]成立，求實(shí)數(shù)a的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：將不等式x²+ax+1≥0對(duì)一切x∈（0，

1

2

]成立轉(zhuǎn)化為a≥

-1-x2

x

=-

1

x

-x對(duì)一切x∈（0，

1

2

]恒成立，通過構(gòu)造函數(shù)g（x）=-

1

x

-x，利用導(dǎo)數(shù)法可判斷其在區(qū)間（0，

1

2

]上的單調(diào)性，易求g（x）_max=-

5

2

，從而可得答案．

解答： 解：不等式x²+ax+1≥0對(duì)一切x∈（0，

1

2

]成立?a≥

-1-x2

x

=-

1

x

-x對(duì)一切x∈（0，

1

2

]恒成立，
令g（x）=-

1

x

-x（0＜x≤

1

2

），則a≥g（x）_max．
∵0＜x≤

1

2

，
∴g′（x）=

1

x2

-1＞0，
∴g（x）=-

1

x

-x在（0，

1

2

]上單調(diào)遞增，
∴g（x）_max=g（

1

2

）=-2-

1

2

=-

5

2

，
∴a≥-

5

2

，
∴實(shí)數(shù)a的最小值為-

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問題，著重考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與構(gòu)造函數(shù)思想的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性及求最值，屬于中檔題．