Question

已知函數(shù)f（x）=ax-

a

x

-2lnx（a≥0），g（x）=x+1．
（1）求證：e^x≥g（x）；
（2）若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）e^x≥g（x）即e^x-x-1≥0；令h（x）=e^x-x-1，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值，只要證明h（x）_min≥0即可．
（2）函數(shù)f（x）=ax-

a

x

-2lnx（a≥0，x＞0），可得f′（x）=a+

a

x2

-

2

x

=

ax2-2x+a

x2

．由于函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，且a≥0．因此f′（x）≥0恒成立，即ax²-2x+a≥0恒成立．對a分類討論即可得出．

解答： （1）證明：e^x≥g（x）即e^x-x-1≥0；
令h（x）=e^x-x-1，則h′（x）=e^x-1．
令h′（x）=0，解得x=0．當(dāng)x＞0時，h′（x）＞0，此時函數(shù)h（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＜0時，h′（x）＜0，此時函數(shù)h（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=0時，函數(shù)h（x）取得極小值即最小值，∴h（x）≥h（0）=e⁰-0-1=0．
∴e^x-x-1≥0即e^x≥g（x）；
（2）函數(shù)f（x）=ax-

a

x

-2lnx（a≥0，x＞0），
∴f′（x）=a+

a

x2

-

2

x

=

ax2-2x+a

x2

．
∵函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，且a≥0．
∴f′（x）≥0恒成立，即ax²-2x+a≥0恒成立．
當(dāng)a=0時，化為-2x≥0，即x≤0，不滿足x＞0，應(yīng)該舍去．
當(dāng)a＞0時，由ax²-2x+a≥0恒成立，∴△=4-4a²≤0，解得a≥1．
綜上可得：a的取值范圍是a≥1．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值、證明不等式、二次函數(shù)的解集與判別式的關(guān)系，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．