Question

18．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足2acosB=2c-b．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若△ABC的面積為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，且a=$\sqrt{3}$，請(qǐng)判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理，三角形內(nèi)角和定理化簡(jiǎn)已知可得2cosAsinB=sinB，由sinB≠0，可得cosA=$\frac{1}{2}$，結(jié)合范圍0＜A＜π，即可求得A的值．
（Ⅱ）利用特殊角的三角函數(shù)值可求sinA，利用三角形面積公式可求bc的值，由余弦定理解得b²+c²=6，從而解得b=c=a=$\sqrt{3}$，即可得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）∵2acosB=2c-b，由正弦定理，可得：2sinAcosB=2sinC-sinB，
又∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，…（2分）
∴2cosAsinB=sinB，在△ABC中，sinB≠0，故cosA=$\frac{1}{2}$，…（4分）
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$…（6分）
（Ⅱ）△ABC是等邊三角形，理由如下：
∵由（Ⅰ）可知A=$\frac{π}{3}$，
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．解得bc=3，由余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA，解得b²+c²=6…（10分）
解得：c=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{3}$，
∴△ABC是等邊三角形…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，特殊角的三角函數(shù)值，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．