Question

9．如圖，在平面直角坐標系xOy中，A，B是圓O：x²+y²=1與x軸的兩個交點（點B在點A右側(cè)），點Q（-2，0），x軸上方的動點P使直線PA，PQ，PB的斜率存在且依次成等差數(shù)列．
（1）求證：動點P的橫坐標為定值；
（2）設(shè)直線PA，PB與圓O的另一個交點為S，T，求證：點Q，S，T三點共線．

Answer 1

分析 （1）求得A，B的坐標，設(shè)P（x₀，y₀）（y₀≠0），運用直線的斜率公式，由等差數(shù)列的性質(zhì)，化簡整理，計算即可得到動點P的橫坐標為定值；
（2）求出PA，PB的斜率，將PA的直線方程代入圓的方程，化簡可得S的坐標，同理可得T的坐標，求得QS，QT的斜率，即可得到三點Q，S，T共線．

解答 證明：（1）由題意可知A（-1，0），B（1，0），
設(shè)P（x₀，y₀）（y₀≠0），則k_PQ=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$，k_PB=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-1}$，k_PA=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+1}$，
直線PA，PQ，PB的斜率存在且依次成等差數(shù)列，
即有2k_PQ=k_PA+k_PB，即$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-1}$+$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+1}$，
由y₀≠0，解得x₀=-$\frac{1}{2}$，
則動點P的橫坐標為定值-$\frac{1}{2}$；
（2）由（1）知，P（-$\frac{1}{2}$，y₀），k_PA=$\frac{{y}_{0}}{-\frac{1}{2}+1}$=2y₀，k_PB=$\frac{{y}_{0}}{-\frac{1}{2}-1}$=-$\frac{2}{3}$y₀，
直線PA：y=2y₀（x+1），代入圓x²+y²=1得（1+4y₀²）x²+8y₀²x+4y₀²-1=0，
由于-1和x_S是方程的兩根，
可得-x_S=$\frac{4{{y}_{0}}^{2}-1}{1+4{{y}_{0}}^{2}}$，即有x_S=$\frac{1-4{{y}_{0}}^{2}}{1+4{{y}_{0}}^{2}}$，y_S=$\frac{4{y}_{0}}{1+4{{y}_{0}}^{2}}$，
同理可得x_T=$\frac{4{{y}_{0}}^{2}-9}{4{{y}_{0}}^{2}+9}$，y_T=$\frac{12{y}_{0}}{4{{y}_{0}}^{2}+9}$，
由$\frac{{y}_{S}}{{x}_{S}+2}$=$\frac{4{y}_{0}}{（1-4{{y}_{0}}^{2}）+2（1+4{{y}_{0}}^{2}）}$=$\frac{4{y}_{0}}{3+4{{y}_{0}}^{2}}$，
$\frac{{y}_{T}}{{x}_{T}+2}$=$\frac{12{y}_{0}}{（4{{y}_{0}}^{2}-9）+2（9+4{{y}_{0}}^{2}）}$═$\frac{4{y}_{0}}{3+4{{y}_{0}}^{2}}$=$\frac{{y}_{S}}{{x}_{S}+2}$，
即有直線QS，QT的斜率相等，
則S，T，Q共線．

點評 本題考查圓的方程的運用，主要考查直線的斜率公式的運用，同時考查等差數(shù)列的性質(zhì)和三點共線的求法，屬于中檔題．