Question

17．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₇=4，a₁₉=2a₉，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，滿足${4}^{{2a}_{n}-1}$=λT_n-（a₅-1）（n∈N^*）
（1）問(wèn)是否存在非零實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列？并說(shuō)明理由；
（2）已知對(duì)于n∈N^*，不等式$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$＜M恒成立，求實(shí)數(shù)M的最小值．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)設(shè)公差d，利用a₇=a₁+6d=4，a₁₉=a₁+18d=2（a₁+8d），可得首項(xiàng)和公差，從而得出通項(xiàng)公式，利用${4}^{{2a}_{n}-1}$=λT_n-（a₅-1）可得當(dāng)n≥時(shí)數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，只需驗(yàn)證前三項(xiàng)是否滿足等比數(shù)列即可；
（2）通過(guò)S_n=$\frac{n（n+3）}{4}$，可得$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{4}{3}$•（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+3}$），利用并項(xiàng)法相加，然后放縮即可．

解答 解：（1）結(jié)論：不存在非零實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列．
理由如下：
設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
則有a₇=a₁+6d=4，a₁₉=a₁+18d=2（a₁+8d），
聯(lián)立解得a₁=1，d=$\frac{1}{2}$，
所以a_n=a₁+（n-1）d=1+$\frac{n-1}{2}$=$\frac{n+1}{2}$，
∴a₅=$\frac{5+1}{2}$=3，
又∵${4}^{{2a}_{n}-1}$=λT_n-（a₅-1）（n∈N^*），
∴T_n=$\frac{{{a}_{5}-1+4}^{2{a}_{n}-1}}{λ}$=$\frac{2+{4}^{n}}{λ}$，∴T_n+1=$\frac{2+{4}^{n+1}}{λ}$，
∴b_n+1=T_n+1-T_n=$\frac{3•{4}^{n}}{λ}$，b₁=T₁=$\frac{6}{λ}$，
∴b₂=$\frac{12}{λ}$，b₃=$\frac{3•{4}^{3}}{λ}$，
數(shù)列{b_n}從第二項(xiàng)起是公比為4的等比數(shù)列，
又∵數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，
∴b₁•b₃=${_{2}}^{2}$，即$\frac{6•3•{4}^{3}}{{λ}^{2}}$=$\frac{1{2}^{2}}{{λ}^{2}}$，
顯然這個(gè)等式不成立，
即不存在非零實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列；
（2）由（1）知S_n=n+$\frac{n（n-1）}{2}•\frac{1}{2}$=$\frac{n（n+3）}{4}$，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{4}{n（n+3）}$=$\frac{4}{3}$•（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+3}$），
∴$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{4}{3}$•（1-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{n-4}$-$\frac{1}{n-1}$+$\frac{1}{n-3}$-$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n-2}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+3}$）
=$\frac{4}{3}$•（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+3}$）
＜$\frac{4}{3}$•（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$）
=$\frac{4}{3}•\frac{11}{6}$=$\frac{22}{9}$，
∴實(shí)數(shù)M的最小值為$\frac{22}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道數(shù)列與函數(shù)、不等式相結(jié)合的綜合題，考查了分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，對(duì)表達(dá)式的靈活變形及利用并項(xiàng)法是解決本題的關(guān)鍵，屬中檔題．