Question

已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足：b_n=a_n+1-λa_n（n∈N^*）．
（1）若λ=1，a1=1，bn=2n，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若λ=-1，a₁=a，a₂=3a，b_n=4n-1，且{a_n}是遞增數(shù)列，求a的取值范圍；
（3）若λ=1，b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2，記c_n=a_6n-1（n∈N^*），求證：數(shù)列{c_n}為等差數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：等差關(guān)系的確定,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）當(dāng)n≥2時，有a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=a₁+b₁+b₂+…+b_n-1=2ⁿ-1，驗(yàn)證n=1時，是否符合，從而可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由題意知，b_n=a_n+1+a_n=4n-1，所以a_n+2+a_n+1=4n+3，兩式相減得a_n+2-a_n=4，a₁=a，a₂=3a，從而可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，再利用{a_n}是遞增數(shù)列，即可求得a的取值范圍；
（3）依題意，可求得{b_n}是以6為周期的數(shù)列，由b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2，得：b₃=2，b₄=1，b₅=

1

2

，b₆=

1

2

，易求c_n+1-c_n=7，從而可證數(shù)列{c_n}為等差數(shù)列．

解答： 解：（1）當(dāng)n≥2時，有a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=a₁+b₁+b₂+…+b_n-1=2ⁿ-1…3分
又a₁=1也滿足上式，所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2ⁿ-1…4分
（2）由題意知，b_n=a_n+1+a_n=4n-1，所以a_n+2+a_n+1=4n+3，
兩式相減得a_n+2-a_n=4，…6分
又a₂+a₁=3得a₂=3-a，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為a_n=

a+2(n-1)，n為奇數(shù) 3-a+2(n-2)，n為偶數(shù)

=

a+2n-2，n為奇數(shù) -a+2n-1，n為偶數(shù)

…8分
因?yàn)閧a_n}是遞增數(shù)列，所以a_2k-1＜a_2k＜a_2k+1，…9分
解得：

1

2

＜a＜

1

3

…10分
（3）因?yàn)閷θ我獾膎∈N^*．都有b_n+6=

bn+5

bn+4

=

bn+4 bn+3

bn+4

=

1

bn+3

=

bn+1

bn+2

=

bn+1

bn+1 bn

=b_n，
所以{b_n}是以6為周期的數(shù)列，…13分
由b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2，得：b₃=2，b₄=1，b₅=

1

2

，b₆=

1

2

，…15分
因而c_n+1-c_n=a_6n+5-a_6n-1=b_6n-1+b_6n+b_6n+1+b_6n+2+b_6n+3+b_6n+4=1+2+2+1+

1

2

+

1

2

=7，
所以，數(shù)列{c_n}為等差數(shù)列…18分

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推式，著重考查等差關(guān)系的確定，考查轉(zhuǎn)化思想、邏輯推理、綜合運(yùn)算能力，（3）中推得{b_n}是以6為周期的數(shù)列是難點(diǎn)，屬于難題．