Question

15．已知$sin（α+\frac{π}{3}）=\frac{2}{3}$，其中$\frac{π}{6}＜α＜\frac{2π}{3}$，則cosα=$\frac{{2\sqrt{3}-\sqrt{5}}}{6}$．

Answer 1

分析 由α的范圍求得$α+\frac{π}{3}$的范圍，由平方關(guān)系結(jié)合已知求得$cos（α+\frac{π}{3}）=-\frac{\sqrt{5}}{3}$，再由cosα=cos[（$α+\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{3}$]展開兩角差的余弦得答案．

解答 解：∵$\frac{π}{6}＜α＜\frac{2π}{3}$，∴$\frac{π}{2}＜α+\frac{π}{3}＜π$，
又$sin（α+\frac{π}{3}）=\frac{2}{3}$，∴$cos（α+\frac{π}{3}）=-\frac{\sqrt{5}}{3}$．
則cosα=cos[（$α+\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{3}$]=cos（$α+\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{3}$+sin（$α+\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{3}$
=$-\frac{\sqrt{5}}{3}×\frac{1}{2}+\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{5}}{6}$．
故答案為：$\frac{{2\sqrt{3}-\sqrt{5}}}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查已知角的三角函數(shù)值求未知角的三角函數(shù)值，考查了兩角和與差的三角函數(shù)，關(guān)鍵是“拆角與配角”思想的應(yīng)用，是中檔題．