Question

已知函數(shù)f（x）=

x-2

x+1

．
（1）求證：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上是增函數(shù)；
（2）設(shè)a＞1，證明方程a^x+f（x）=0沒有負根．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）用函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上的單調(diào)性；
（2）可以用反證法證明，基本步驟是假設(shè)結(jié)論不成立，由假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理證明，得出與假設(shè)矛盾的結(jié)論，從而證明假設(shè)不成立．

解答： 解：（1）證明：設(shè)x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂，…（1分）
則x₁+1＞0，x₂+1＞0，…（2分）
∴f(x2)-f(x1)=

x2-2

x2+1

-

x1-2

x1+1

=

3(x2-x1)

(x1+1)(x2+1)

＞0；…（5分）
∴f（x₁）＜f（x₂），…（6分）
∴函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為增函數(shù)；…（7分）
（2）證明：假設(shè)存在x₀＜0（x₀≠-1），滿足ax0+f(x0)=0，…（8分）
則ax0=-

x0-2

x0+1

，…（10分）
且0＜ax0＜1；
∴0＜-

x0-2

x0+1

＜1，即

1

2

＜x0＜2；…（12分）
這與假設(shè)x₀＜0矛盾，
∴方程a^x+f（x）=0沒有負根． …（14分）

點評：本題考查了關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用的證明問題，解題時應(yīng)根據(jù)題目的特點，進行分析與證明，是基礎(chǔ)題．