【題目】如圖,在四棱錐中,平面,四邊形是菱形,,,且交于點,是上任意一點.
(1)求證;
(2)已知二面角的余弦值為,若為的中點,求與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)利用線面垂直的性質(zhì)得,利用菱形的性質(zhì)得,利用線面垂直的判定定理得平面,利用線面垂直得到線線垂直,從而得到;
(2)分別以,,為軸,軸,軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),用坐標(biāo)表示點,求得平面的法向量為,平面的法向量為,根據(jù)二面角的余弦值為,可求出,從而得到點的坐標(biāo),再利用向量的夾角公式,即可求得與平面所成角的正弦值.
(1)∵平面,∴
又∵四邊形為菱形,∴
又,∴平面
平面,∴
(2)連,在中,,∴平面
分別以,,為軸,軸,軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè),則,,
,,.
由(1)知,平面的一個法向量為
設(shè)平面 的一個法向量為,則由
即,令,則
因二面角的余弦值為,
∴,∴
設(shè)與平面所成角為,∵,,
∴.
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【題目】如圖,四棱柱的底面為菱形,底面,,,,分別為,的中點.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求證:平面平面;
(Ⅲ)若,求異面直線與所成角的余弦值.
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【題目】如圖,四邊形是梯形,四邊形是矩形,且平面平面,,,是線段上的動點.
(1)試確定點的位置,使平面,并說明理由;
(2)在(1)的條件下,求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
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【題目】武漢市攝影協(xié)會準(zhǔn)備在2020年1月舉辦主題為“我們都是追夢人”攝影圖片展,通過平常人的鏡頭記錄國強民富的幸福生活,攝影協(xié)會收到了來自社會各界的大量作品,打算從眾多照片中選取100張照片展出,其參賽者年齡集中在之間,根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果,做出頻率分布直方圖如圖:
(1)求頻率直方圖中的值,并根據(jù)頻率直方圖,求這100位攝影者年齡的中位數(shù);
(2)為了展示不同年齡作者眼中的幸福生活,攝影協(xié)會按照分層抽樣的方法,計劃從這100件照片中抽出20個最佳作品,并邀請相應(yīng)作者參加“講述照片背后的故事”座談會.
①在答題卡上的統(tǒng)計表中填出每組相應(yīng)抽取的人數(shù):
年齡 | |||||
人數(shù) |
②若從年齡在的作者中選出2人把這些圖片和故事整理成冊,求這2人中至少有1人的年齡在的概率.
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【題目】已知函數(shù),,.
(Ⅰ)當(dāng)時,求曲線在處的切線方程;
(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)設(shè),若對于任意,總存在,使得成立,求的取值范圍.
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【題目】已知數(shù)列{an}滿足:a1+a2+a3+…+an=n-an,(n=1,2,3,…)
(Ⅰ)求證:數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列;
(Ⅱ)令bn=(2-n)(an-1)(n=1,2,3,…),如果對任意n∈N*,都有bn+t≤t2,求實數(shù)t的取值范圍.
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【題目】已知點是單位正方體的對角面上的一動點,過點作垂直于平面的直線,與正方體的側(cè)面相交于、兩點,則的面積的最大值為( )
A. B. C. D.
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【題目】隨著人們經(jīng)濟收入的不斷增加,個人購買家庭轎車已不再是一種時尚,車的使用費用,尤其是隨著使用年限的增多,所支出的費用到底會增長多少,一直是購車一族非常關(guān)心的問題,某汽車銷售公司做了一次抽樣調(diào)查,并統(tǒng)計得出2009年出售的某款車的使用年限(2009年記)與所支出的總費用(萬元)有如表的數(shù)據(jù)資料:
使用年限 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
總費用 | 2.5 | 3.5 | 5.5 | 6.5 | 7.0 |
(1)求線性回歸方程;
(2)若這款車一直使用到2020年,估計使用該款車的總費用是多少元?
線性回歸方程中斜率和截距用最小二乘法估計計算公式如下:
,
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