Question

6．已知函數(shù)f（x）=x²（e^x-1）+ax³若當(dāng)x≥0時，f（x）≥0恒成立，則a的取值范圍[0，+∞）．

Answer 1

分析 先分類討論，當(dāng)x=0時，或當(dāng)x≠0時，分離參數(shù)得到a≥$\frac{1-{e}^{x}}{x}$，在x∈（0，+∞）上恒成立，兩次構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最值，問題得以解決．

解答 解：由f（x）=x²（e^x-1）+ax³若當(dāng)x≥0時，f（x）≥0恒成立，
∴x²（e^x-1）+ax³≥0，在x∈[0，+∞）上恒成立，
 當(dāng)x=0時，成立，a∈R，
當(dāng)x≠0
∴a≥$\frac{1-{e}^{x}}{x}$，在x∈（0，+∞）上恒成立，
設(shè)g（x）=$\frac{1-{e}^{x}}{x}$，x∈（0，+∞），
∴g′（x）=$\frac{{e}^{x}（1-x）-1}{{x}^{2}}$，
設(shè)h（x）=e^x（1-x）-1，
∴h′（x）=-xe^x＜0在（0，+∞）恒成立，
∴h（x）在（0，+∞）為減函數(shù)，
∴h（x）＜h（0）=-1，
∴g′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，
∴g（x）在（0，+∞）為減函數(shù)，\
∵1-e^x＜0，
∴g（x）＜0
綜上所述a≥0
故答案為：[0，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了不等式恒成立問題的基本思路，一般是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解，能分離參數(shù)的盡量分離參數(shù)，注意導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)最值問題中的應(yīng)用．