Question

16．已知函數(shù)f（x）=3x-x³．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)x=2處的切線l的方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）區(qū)間[-2，3]上的最值．

Answer 1

分析 （I）求導(dǎo)函數(shù)，求出切線的斜率，切點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到切線方程；
（II）利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的極大值，與端點(diǎn)函數(shù)值比較，即可得到結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）x=2時(shí)，f（2）=-2∴切點(diǎn)（2，-2）．…（2分）f'（x）=3-3x²∴k=f'（2）=-9．…（4分）
則直線l：y-（-2）=（-9）（x-2），即9x+y-16=0為所求．…（6分）
（Ⅱ）令f'（x）=3-3x²=0，則x₁=-1，x₂=1．…（7分）
當(dāng)x變化時(shí)，f（x），f'（x）的變化情況如下表：

x	-2	（-2，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，3）	3
f'（x）		-	0	+	0	-
f（x）	2		極小值-2		極大值2		-18

…（10分）
故函數(shù)f（x）區(qū)間[-2，3]上的最大值為f（-2）=f（1）=2，最小值為f（3）=-18．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．