Question

10．已知曲線C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{5}$=1，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐 標系，直線l的極坐標方程為$ρcos（θ-\frac{π}{4}）=2\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求直線l的直角坐標方程；
（Ⅱ）已知M是曲線C上任意一點，求點M到直線l距離的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ可得直線l的直角坐標方程；
（Ⅱ）設(shè)$M（2cosθ，\sqrt{5}sinθ）$，M到l的距離為d，運用點到直線的距離公式，結(jié)合兩角差的余弦公式，以及余弦函數(shù)的值域，即可得到最小值．

解答 解：（Ⅰ）由$ρcos（θ-\frac{π}{4}）=2\sqrt{2}$，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
得x+y-4=0，
∴直線l的直角坐標方程為x+y-4=0．
（Ⅱ）設(shè)$M（2cosθ，\sqrt{5}sinθ）$，M到l的距離為d，
則d=$\frac{|2cosθ+\sqrt{5}sinθ-4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{4-3（\frac{2}{3}cosθ+\frac{\sqrt{5}}{3}sinθ）}{\sqrt{2}}$=$\frac{4-3cos（θ-φ）}{\sqrt{2}}$，
其中$cosφ=\frac{2}{3}，sinφ=\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，
當cos（θ-φ）=1時，d有最小值$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴M到直線l的距離的最小值為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

點評 本題考查參數(shù)方程、極坐標方程和普通方程的互化，考查點到直線的距離公式的運用，同時考查余弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．