Question

18．已知等差數(shù)列{a_n}中，a₁=12，公差為d，a₃＞0，當且僅當n=3時|a_n|最小．
（Ⅰ）求公差d的取值范圍；
（Ⅱ）若d∈Z（Z為整數(shù)集），求數(shù)列{|a_n|}的前n項和S_n的表達式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)已知條件，可得a₃＞0，且a₄+a₃＜0，利用等差數(shù)列的通項公式列出不等式組，求出d的范圍．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，d=-5，可得a_n=-5n+17，T_n=$\frac{29n-5{n}^{2}}{2}$，分類討論，即可求數(shù)列{|a_n|}的前n項和S_n的表達式．

解答 解：（Ⅰ）∵a₃＞0，當且僅當n=3時，|a_n|取到最小值，
∴a₃＞0，且a₄+a₃＜0，
∵a₁=12，
∴12+2d＞0，12+3d+12+2d＜0，
解得-6＜d＜-$\frac{24}{5}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，d=-5，∴a_n=-5n+17，∴T_n=$\frac{29n-5{n}^{2}}{2}$，
∴1≤n≤3時，S_n=$\frac{29n-5{n}^{2}}{2}$，
n≥4時，S_n=-T_n+2T₃=$\frac{5{n}^{2}-29n}{2}$+42，
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{29n-5{n}^{2}}{2}，1≤n≤3}\\{\frac{5{n}^{2}-29n}{2}+42，n≥4}\end{array}\right.$．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項與求和，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．