Question

已知函數(shù)

a

=（cosx，

1

2

），

b

=（

3

sinx，cos2x），x∈R，設(shè)函數(shù)f（x）=

a

•

b

-

1

2

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈（0，

2π

3

）時(shí)，求f（x）的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由題意可得函數(shù)f（x）=

a

•

b

-

1

2

=sin（2x+

π

6

）-

1

2

，由此可得函數(shù)的最小正周期，令2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得x的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間．
（Ⅱ）由x∈（0，

2π

3

），利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可得函數(shù)f（x）=

a

•

b

-

1

2

=

3

sinxcosx+

1

2

cos2x-

1

2

=sin（2x+

π

6

）-

1

2

．
顯然，函數(shù)的最小正周期為

2π

2

=π，令2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，
可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈z．
（Ⅱ）當(dāng)x∈（0，

2π

3

）時(shí)，2x+

π

6

∈（

π

6

，

3π

2

），∴sin（2x+

π

6

）∈（-1，1]，∴f（x）∈（-

3

2

，

1

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，兩角和的正弦公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性、定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．