Question

12．已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足asinAsinB+bcos²A=$\sqrt{3}$a，cosB=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，c=2$\sqrt{6}$
（Ⅰ）求sinA；
（Ⅱ） 求a，b的值．

Answer 1

分析 （I）利用正弦定理、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得出．
（II）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、和差公式、正弦定理即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵asinAsinB+bcos²A=$\sqrt{3}$a，
∴sinAsinAsinB+sinBcos²A=$\sqrt{3}$sinA，
∴sinB=$\sqrt{3}$sinA，
由cosB=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，B∈（0，π），
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴$\sqrt{3}sinA$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得sinA=$\frac{1}{3}$．
（Ⅱ）∵sinA=$\frac{1}{3}$$＜\frac{\sqrt{3}}{3}$=sinB，且A、B是三角形的內(nèi)角，
∴A＜B，∴cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
由正弦定理得：$a=\frac{csinA}{sinC}$=2，b=$\frac{csinB}{sinC}$=2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、和差公式、正弦定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．