Question

3．已知△ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若cosA=$\frac{4\sqrt{3}-{5a}^{2}}{2bc}$，tanB=tanC，則△ABC面積的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)可知B=C，b=c，利用余弦定理可得b²+2a²=2$\sqrt{3}$，求出面積的平方，利用均值定理得出面積的最大值．

解答 解：tanB=tanC，
∴B=C，
∴b=c，
cosA=$\frac{4\sqrt{3}-{5a}^{2}}{2bc}$，
∴b²+2a²=2$\sqrt{3}$，
△ABC面積s²=$\frac{1}{4}$a²（2$\sqrt{3}$-$\frac{9}{4}{a}^{2}$）
=9×$\frac{1}{4}$a²（$\frac{2\sqrt{3}}{9}$-$\frac{{a}^{2}}{4}$）≤9×${（\frac{\sqrt{3}}{9}）}^{2}$=$\frac{3}{9}$，
∴面積最大值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 考查了余弦函數(shù)和均值定理的綜合應(yīng)用．