Question

19．已知數(shù)列{a_n}滿足3a_n+1+a_n=4（n∈N*）且a₁=9，其前n項(xiàng)和為S_n，則滿足不等式|S_n-n-6|＜$\frac{1}{100}$的最小整數(shù)n是6．

Answer 1

分析 利用數(shù)列的遞推關(guān)系式得到新數(shù)列是等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和，代入不等式，轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：數(shù)列{a_n}滿足3a_n+1+a_n=4（n∈N*）可得：3（a_n+1-1）=-（a_n-1），
數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為：8，公比為-$\frac{1}{3}$，可得a_n-1=8×$（-\frac{1}{3}）^{n-1}$，a_n=8×$（-\frac{1}{3}）^{n-1}$+1，
S_n=$\frac{8（1-（-\frac{1}{3}）^{n}）}{1+\frac{1}{3}}$=n+6-6×$（-\frac{1}{3}）^{n}$，
|S_n-n-6|＜$\frac{1}{100}$，可得：6×$\frac{1}{{3}^{n}}$$＜\frac{1}{100}$，即3ⁿ＞200，所以n的最小值為：6．
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，等比數(shù)列的應(yīng)用，數(shù)列與不等式綜合，考查計(jì)算能力．