Question

3．已知命題p：f（x）在R上為偶函數(shù)，在區(qū)間（-∞，0）上遞增，且有f（2a²+a+1）＜f（2a²-2a+3）成立；命題q：不等式x²+2ax+2a≤0有解，若命題“p或q”是假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 假設(shè)p真，由偶函數(shù)的性質(zhì)可得f（x）在（0，+∞）上遞減，f（2a²+a+1）＜f（2a²-2a+3），可得2a²+a+1＞2a²-2a+3，解不等式可得a的范圍；假設(shè)q真，可得判別式不小于0，解不等式可得a的范圍；再由“p或q”是假命題，可得p假q假，可得不等式組，解得a的范圍即可．

解答 解：若p真，有2a²+a+1=2（a+$\frac{1}{4}$）²+$\frac{7}{8}$＞0，
2a²-2a+3=2（a-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{2}$＞0，
由f（x）在R上為偶函數(shù)，在區(qū)間（-∞，0）上遞增，
可得f（x）在（0，+∞）上遞減，
由f（2a²+a+1）＜f（2a²-2a+3），可得
2a²+a+1＞2a²-2a+3，解得a＞$\frac{2}{3}$；
若q真，不等式x²+2ax+2a≤0有解即為△≥0，
即有4a²-8a≥0，解得a≥2或a≤0．
由命題“p或q”是假命題，可得p假q假，
即有$\left\{\begin{array}{l}{a≤\frac{2}{3}}\\{0＜a＜2}\end{array}\right.$，解得0＜a≤$\frac{2}{3}$．
則實數(shù)a的取值范圍是（0，$\frac{2}{3}$]．

點評 本題主要考查命題的真假和運用，考查函數(shù)的性質(zhì)和運用，考查不等式的解法，考查運算能力，屬于中檔題．