Question

15．已知函數(shù)g（x）=（a+1）^x-2+1（a＞0）的圖象恒過定點A，且點A又在函數(shù)$f（x）={log_{\sqrt{3}}}（x+a）$的圖象上．
（1）求實數(shù)a的值；                
（2）解不等式f（x）＜${log_{\sqrt{3}}}a$；
（3）函數(shù)h（x）=|g（x+2）-2|的圖象與直線y=2b有兩個不同的交點時，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運用a⁰=1，令x-2=0，則x=2，求得g（2）=2，代入f（x），即可求得a=1；
（2）運用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)a＞1時，f（x）在x＞0上遞增，解不等式即可得到；
（3）求出h（x），分別畫出y=h（x）與y=2b的圖象，由圖象可知：0＜2b＜1，即可求出b的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)g（x）的圖象恒過定點A，當(dāng)x-2=0時，即x=2，y=2，
∴A點的坐標(biāo)為（2，2），
又A點在f（x）上，
∴f（2）=$lo{g}_{\sqrt{3}}（2+a）$=a，解得a=1，
（2）f（x）＜${log_{\sqrt{3}}}a$，
∴$lo{g}_{\sqrt{3}}（x+1）$＜$lo{g}_{\sqrt{3}}1$=0，
∴0＜x+1＜1，
∴-1＜x＜0，
∴不等式的解集為（-1，0），
（3）由（1）知g（x）=g（x）=2^x-2+1，
∴h（x）=|g（x+2）-2|=|2^x-1|=2b，
分別畫出y=h（x）與y=2b的圖象，如圖所示：
由圖象可知：0＜2b＜1，故b的取值范圍為$（{0，\frac{1}{2}}）$

點評 本題考查指數(shù)函數(shù)的圖象的特點，考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的運用：解不等式，考查運算能力，屬于中檔題．