Question

17．數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=-n²+16n-2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n：
（2）求數(shù)列{|a_n|}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）運用當n=1時，a₁=S₁，當n＞1時，a_n=S_n-S_n-1，化簡計算即可得到通項公式；
（2）討論當1≤n≤8時，|a_n|=a_n，當n≥9，|a_n|=-a_n=2n-17，運用等差數(shù)列的求和公式，計算即可得到．

解答 解：（1）∵S_n=-n²+16n-2，
∴n＞1時，S_n-1=-（n-1）²+16（n-1）-2，
當n=1時，a₁=S₁=13，
a_n=S_n-S_n-1=-2n+17，
當n=1時，-2n+17=14≠a₁，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{13，n=1}\\{-2n+17，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）由-2n+17≥0得n≤$\frac{17}{2}$．
∴當1≤n≤8時，|a_n|=a_n，
當n≥9，|a_n|=-a_n=2n-17，
當n≤8時，|a_n|中第一項是13，
第二項起是以13為首項，-2為公差的等差數(shù)列，
∴前n項和T_n=13+13（n-1）+$\frac{1}{2}$（n-1）（n-2）•（-2）=-2+16n-n²（1＜n≤8），
當n≥9時，此時|a_n|的前8項之和已得出為62，
|a_n|的后n-8項是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，后n-8項的和為
T_n'=（n-8）×1+$\frac{1}{2}$（n-8）（n-9）×2=n²-16n+64，
∴T_n=62+T_n'=n²-16n+126．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-2+16n-{n}^{2}，n≤8}\\{{n}^{2}-16n+126，n≥9}\end{array}\right.$．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項和求和公式和應用，解題時要認真審題，仔細解答．