Question

11．作已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，過F₂的直線l交C于M，N兩點(diǎn)，若△MF₁N的周長(zhǎng)為8．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)O為原點(diǎn)，若點(diǎn)A在直線y=2上，點(diǎn)B在橢圓C上，且OA⊥OB，求線段AB長(zhǎng)度的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得4a=8，結(jié)合e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$及隱含條件求得a，b的值，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)出A、B的坐標(biāo)A（t，2），B（x₀，y₀），x₀≠0，利用OA⊥OB把A的坐標(biāo)用B的坐標(biāo)表示，求出線段AB長(zhǎng)度（用含有B的橫坐標(biāo)的代數(shù)式表示），再利用基本不等式求出AB長(zhǎng)度的最小值．

解答 解：（1）由題意可知，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{4a=8}\end{array}\right.$，解得a=2，c=$\sqrt{2}$，
∴b²=a²-c²=4-2=2，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）設(shè)A（t，2），B（x₀，y₀），x₀≠0，則
∵OA⊥OB，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，則tx₀+2y₀=0，
∴t=-$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}$，
∵x₀²+2y₀²=4，
∴|AB|²=（x₀-t）²+（y₀-2）²=（x₀+$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}$）²+$（{y}_{0}+2）^{2}$
=x₀²+y₀²+$\frac{4{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}}$+4=x₀²+$\frac{4-{{x}_{0}}^{2}}{2}$+$\frac{2（4-{{x}_{0}}^{2}）}{{{x}_{0}}^{2}}$+4=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}+\frac{8}{{{x}_{0}}^{2}}$+4（0＜x₀²≤4），
∵$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}+\frac{8}{{{x}_{0}}^{2}}$≥4（0＜x₀²≤4），
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}=\frac{8}{{{x}_{0}}^{2}}$，即x₀²=4時(shí)等號(hào)成立，
∴|AB|²≥8．
∴線段AB長(zhǎng)度的最小值為2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．