Question

2．如圖，地面上有一豎直放置的圓形標(biāo)志物，圓心為C，與地面的接觸點(diǎn)為G．與圓形標(biāo)志物在同一平面內(nèi)的地面上點(diǎn)P處有一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，且PG=50m．在觀測(cè)點(diǎn)正前方10m處（即PD=10m）有一個(gè)高為10m（即ED=10m）的廣告牌遮住了視線，因此在觀測(cè)點(diǎn)所能看到的圓形標(biāo)志的最大部分即為圖中從A到F的圓�。�
（1）若圓形標(biāo)志物半徑為25m，以PG所在直線為x軸，G為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，求圓C和直線PF的方程；
（2）若在點(diǎn)P處觀測(cè)該圓形標(biāo)志的最大視角（即∠APF）的正切值為$\frac{41}{39}$，求該圓形標(biāo)志物的半徑．

Answer 1

分析 （1）利用圓心與半徑，可得圓的方程，利用PF與圓C相切，可得直線PF的方程；
（2）先求出直線PF方程，再利用直線PF與圓C相切，求出該圓形標(biāo)志物的半徑．

解答 解：（1）圓C：x²+（y-25）²=25²．
直線PB方程：x-y+50=0．
設(shè)直線PF方程：y=k（x+50）（k＞0），
因?yàn)橹本�PF與圓C相切，所以$\frac{{|{25+50k}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=25$，解得$k=\frac{4}{3}$…（6分）
所以直線PF方程：$y=\frac{4}{3}（x+50）$，即4x-3y+200=0…（8分）
（2）設(shè)直線PF方程：y=k（x+50）（k＞0），圓C：x²+（y-r）²=r²．
因?yàn)閠an∠APF=tan（∠GPF-∠GPA）=$\frac{k-1}{1+k}$=$\frac{41}{39}$，所以$k=\frac{40}{9}$…（10分）
所以直線PF方程：$y=\frac{40}{9}（x+50）$，即40x-9y+2000=0．
因?yàn)橹本�PF與圓C相切，所以$\frac{{|{9r-2000}|}}{{\sqrt{1600+81}}}=r$，…（13分）
化簡(jiǎn)得2r²+45r-5000=0，即（2r+125）（r-40）=0．
故r=40…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．