Question

16．已知直線l：y=x+b，橢圓C：x²+2y²=4．
（1）若直線和橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，求b的范圍；
（2）若直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$，求b的值．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立直線與橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，由判別式大于0求得b的范圍；
（2）直接利用弦長(zhǎng)公式列式求b的值．

解答 解：（1）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得3x²+4bx+2b²-4=0．
由△=（4b）²-12（2b²-4）=48-8b²＞0，
解得：-$\sqrt{6}＜b＜\sqrt{6}$；
（2）設(shè)直線被橢圓所截弦的兩端點(diǎn)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由（1）知，${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4b}{3}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2^{2}-4}{3}$，
∴|AB|=$\sqrt{2}|{x}_{1}-{x}_{2}|=\sqrt{2}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}\sqrt{（-\frac{4b}{3}）^{2}-4•\frac{2^{2}-4}{3}}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
解得：b=±2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，是中檔題．