Question

15．已知定義在R上的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且f（2）=0，當x＞0時有x•f′（x）+f（x）＜0，則不等式f（x）＜0的解集是（　�。�

• A． （-2，0）∪（2，+∞）
• B． （-∞，-2）∪（0，2）
• C． （-2，0）∪（0，2）
• D． （-2，2）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 由題意構(gòu)造函數(shù)g（x）=xf（x）求出g′（x），根據(jù)條件判斷出g（x）的單調(diào)性和奇偶性，由f（2）=0得g（2）=0，結(jié)合g（x）單調(diào)性判斷出各個區(qū)間上的符號，從而可得到
f（x）在各個區(qū)間上的符號，即可求出不等式f（x）＜0的解集．

解答 解：設(shè)g（x）=xf（x），則g′（x）=x•f′（x）+f（x），
∵當x＞0時，有x•f′（x）+f（x）＜0，則g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∵函數(shù)f（x）是R上奇函數(shù)，∴函數(shù)g（x）是R上的偶函數(shù)，
則g（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，
又f（2）=0，則g（2）=0，
∴在（0，2）內(nèi)恒有g(shù)（x）＞0；在（2，+∞）內(nèi)恒有g(shù)（x）＜0，
在（-∞，-2）內(nèi)恒有g(shù)（x）＜0；在（-2，0）內(nèi)恒有g(shù)（x）＞0，
∴在（0，2）內(nèi)恒有f（x）＞0；在（2，+∞）內(nèi)恒有f（x）＜0，
在（-∞，-2）內(nèi)恒有f（x）＞0；在（-2，0）內(nèi)恒有f（x）＜0，
∴不等式f（x）＜0的解集是（-2，0）∪（2，+∞），
故選：A．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求解不等式問題，考查構(gòu)造函數(shù)法，屬于中檔題．