Question

4．（Ⅰ） 數(shù)列{a_n}滿足S_n=2n-a_n，先計(jì)算數(shù)列的前四項(xiàng)，再歸納猜想通項(xiàng)a_n；
（Ⅱ） 用分析法證明：$\sqrt{6}+\sqrt{7}＞2\sqrt{2}+\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)S_n=2n-a_n，利用遞推公式，求出a₁，a₂，a₃，a₄．總結(jié)出規(guī)律求出a_n；
（Ⅱ）尋找使不等式成立的充分條件，要是不等式成立，只要6+7+2$\sqrt{42}$＞8+5+4$\sqrt{10}$，即證$\sqrt{42}$＞2$\sqrt{10}$，即證 42＞40．

解答 （Ⅰ）解：由a₁=2-a₁，得a₁=1，
由a₁+a₂=2×2-a₂，得a₂=$\frac{3}{2}$，
由a₁+a₂+a₃=2×3-a₃，得a₃=$\frac{7}{4}$，
由a₁+a₂+a₃+a₄=2×4-a₄，得a₄=$\frac{15}{8}$，
猜想a_n=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$；
（Ⅱ）證明：要證$\sqrt{6}+\sqrt{7}＞2\sqrt{2}+\sqrt{5}$，
只要證 6+7+2$\sqrt{42}$＞8+5+4$\sqrt{10}$，
只要證$\sqrt{42}$＞2$\sqrt{10}$，即證 42＞40． 
而42＞40顯然成立，故原不等式成立．

點(diǎn)評 本題考查歸納猜想，考查用分析法證明不等式，關(guān)鍵是尋找使不等式成立的充分條件．