Question

已知向量

m

=（sin2x，cosx），

n

=（

3

，2cosx）（x∈R），f（x）=

m

•

n

-1，
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）求f（x）在[0，

π

3

]的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式、三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為f（x）=2sin（2x+

π

6

），令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，可得函數(shù)f（x）的增區(qū)間．
（2）根據(jù)x∈[0，

π

3

]，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得f（x）在[0，

π

3

]的最大值和最小值．

解答： 解：（1）f（x）=

m

•

n

-1=

3

sin2x+2cos²x-1=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

），
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈z，
故函數(shù)f（x）的增區(qū)間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈z．
（2）∵x∈[0，

π

3

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

5π

6

]，故當(dāng)2x+

π

6

=

π

6

時(shí)，f（x）=2sin（2x+

π

6

）取得最小值1，
當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

時(shí)，f（x）=2sin（2x+

π

6

）取得最大值2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性、定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．