Question

17．如圖，已知直線a∥平面α，在平面α內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P，點(diǎn)A是直線a上一定點(diǎn)，且AP與直線a所成角θ=$\frac{π}{4}$，點(diǎn)A到平面α的距離為2，若過(guò)點(diǎn)A作AO⊥α于點(diǎn)O，在平面α內(nèi)，以過(guò)點(diǎn)O作直線a的平行線為x軸，以過(guò)點(diǎn)O作x軸的垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x²-y²=4．．

Answer 1

分析 建立坐標(biāo)系，作PB⊥y軸，連接AB，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為：（x，y），由題意可得：∠APB=θ，AB=xtanθ，OB=y，AO=d，利用勾股定理可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．

解答 解：過(guò)點(diǎn)A作AO⊥α于點(diǎn)O，在平面α內(nèi)，以過(guò)點(diǎn)O作直線a的平行線為x軸，
以過(guò)點(diǎn)O作x軸的垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，作PB⊥y軸，連接AB，
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為：（x，y），
由題意可得：∠APB=θ=$\frac{π}{4}$，AB=xtanθ=x，OB=y，AO=d=2．
所以，由勾股定理可得：（xtanθ）²=d²+y²，即：x²=2²+y²，
整理可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為：x²-y²=4．
故答案為：x²-y²=4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了勾股定理，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，考查了空間想象能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基本知識(shí)的考查．