【題目】以任意方式把空間染成五種顏色(每點(diǎn)屬于一色,每色的點(diǎn)都有).
(1)證明:存在一個(gè)平面,至少含有四種不同顏色的點(diǎn);
(2)是否一定存在五色平面?
【答案】(1)見解析(2) 不一定.
【解析】
(1)若存在四色線,則含有的平面即為所求.若存在三色線,
則在線外可再取到一個(gè)第四色的點(diǎn),過點(diǎn)和線的平面即為所求.
假若任一直線上都不多于兩色,為此,
用分別表示這五種顏色的點(diǎn)所構(gòu)成的點(diǎn)集.取點(diǎn),,過的直線記為,則直線上其余的點(diǎn)也屬于或.
不妨設(shè)直線上有點(diǎn),在空間分別取點(diǎn)、,過的平面記為,
則直線與平面有公共點(diǎn).
若,則平面即為所求(這時(shí),平面上含有四色).
若,在空間再取一點(diǎn),過點(diǎn)和直線作平面,
則平面和平面的交線為過的直線.在平面內(nèi),過點(diǎn)的兩條直線和中,
至少有一條要與直線相交,不妨設(shè),則點(diǎn)屬于或.
于是,平面至少含有四色(或含或含).
(2)不一定.例如,若將四面體的四個(gè)頂 點(diǎn)分別染成四色,
空間其余的點(diǎn)全染成色,這時(shí),不存在五色平面.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】浙江省現(xiàn)行的高考招生制度規(guī)定除語、數(shù)、英之外,考生須從政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物、技術(shù)這7門高中學(xué)考科目中選擇3門作為高考選考科目,成績計(jì)入高考總分.已知報(bào)考某高校、兩個(gè)專業(yè)各需要一門科目滿足要求即可,專業(yè):物理、化學(xué)、技術(shù);專業(yè):歷史、地理、技術(shù).考生小李今年打算報(bào)考該高校這兩個(gè)專業(yè)的選考方式有______ 種.(用數(shù)字作答)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,已知?jiǎng)又本的參數(shù)方程:,(為參數(shù),) ,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)求曲線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若直線與曲線恰好有2個(gè)公共點(diǎn)時(shí),求直線的一般方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中國改革開放以來經(jīng)濟(jì)發(fā)展迅猛,某一線城市的城鎮(zhèn)居民2012~2018年人均可支配月收入散點(diǎn)圖如下(年份均用末位數(shù)字減1表示).
(1)由散點(diǎn)圖可知,人均可支配月收入y(萬元)與年份x之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系,試求y關(guān)于x的回歸方程(系數(shù)精確到0.001),依此相關(guān)關(guān)系預(yù)測2019年該城市人均可支配月收入;
(2)在2014~2018年的五個(gè)年份中隨機(jī)抽取兩個(gè)數(shù)據(jù)作樣本分析,求所取的兩個(gè)數(shù)據(jù)中,人均可支配月收入恰好有一個(gè)超過1萬元的概率.
注:,,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2020年新年伊始,新型冠狀病毒來勢洶洶,疫情使得各地學(xué)生在寒假結(jié)束之后無法返校,教育部就此提出了線上教學(xué)和遠(yuǎn)程教學(xué),停課不停學(xué)的要求也得到了家長們的贊同.各地學(xué)校開展各式各樣的線上教學(xué),某地學(xué)校為了加強(qiáng)學(xué)生愛國教育,擬開設(shè)國學(xué)課,為了了解學(xué)生喜歡國學(xué)是否與性別有關(guān),該學(xué)校對100名學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查,得到如下列聯(lián)表:
喜歡國學(xué) | 不喜歡國學(xué) | 合計(jì) | |
男生 | 20 | 50 | |
女生 | 10 | ||
合計(jì) | 100 |
(1)請將上述列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為喜歡國學(xué)與性別有關(guān)系?
(2)針對問卷調(diào)查的100名學(xué)生,學(xué)校決定從喜歡國學(xué)的人中按分層抽樣的方法隨機(jī)抽取6人成立國學(xué)宣傳組,并在這6人中任選2人作為宣傳組的組長,設(shè)這兩人中女生人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考數(shù)據(jù):
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題10分)選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ。
(Ⅰ)把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)(ρ≥0,0≤θ<2π)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為比較甲、乙兩名藍(lán)球運(yùn)動(dòng)員的近期競技狀態(tài),選取這兩名球員最近五場比賽的得分制成如圖所示的莖葉圖,有下列結(jié)論:
甲 | 乙 | |||||
9 | 8 | 5 | 2 | 8 | 9 | |
2 | 1 | 3 | 0 | 1 | 2 |
①甲最近五場比賽得分的中位數(shù)高于乙最近五場比賽得分的中位數(shù).
②甲最近五場比賽得分的平均數(shù)低于乙最近五場比賽得分的平均數(shù).
③從最近五場比賽的得分看,乙比甲更穩(wěn)定.
④從最近五場比賽的得分看,甲比乙更穩(wěn)定.
其中所有正確結(jié)論的編號為( )
A.①③B.①④C.②③D.②④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我市為改善空氣環(huán)境質(zhì)量,控制大氣污染,政府相應(yīng)出臺了多項(xiàng)改善環(huán)境的措施.其中一項(xiàng)是為了減少燃油汽車對大氣環(huán)境污染.從2018年起大力推廣使用新能源汽車,鼓勵(lì)市民如果需要購車,可優(yōu)先考慮選用新能源汽車.政府對購買使用新能源汽車進(jìn)行購物補(bǔ)貼,同時(shí)為了地方經(jīng)濟(jì)發(fā)展,對購買本市企業(yè)生產(chǎn)的新能源汽車比購買外地企業(yè)生產(chǎn)的新能源汽車補(bǔ)貼高.所以市民對購買使用本市企業(yè)生產(chǎn)的新能源汽車的滿意度也相應(yīng)有所提高.有關(guān)部門隨機(jī)抽取本市本年度內(nèi)購買新能源汽車的戶,其中有戶購買使用本市企業(yè)生產(chǎn)的新能源汽車,對購買使用新能源汽車的滿意度進(jìn)行調(diào)研,滿意度以打分的形式進(jìn)行.滿分分,將分?jǐn)?shù)按照分成5組,得如下頻率分布直方圖.
(1)若本次隨機(jī)抽取的樣本數(shù)據(jù)中購買使用本市企業(yè)生產(chǎn)的新能源汽車的用戶中有戶滿意度得分不少于分,把得分不少于分為滿意.根據(jù)提供的條件數(shù)據(jù),完成下面的列聯(lián)表.
滿意 | 不滿意 | 總計(jì) | |
購本市企業(yè)生產(chǎn)的新能源汽車戶數(shù) | |||
購?fù)獾仄髽I(yè)生產(chǎn)的新能源汽車戶數(shù) | |||
總計(jì) |
并判斷是否有的把握認(rèn)為購買使用新能源汽車的滿意度與產(chǎn)地有關(guān)?
(2)以頻率作為概率,政府對購買使用新能源汽車的補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn)是:購買本市企業(yè)生產(chǎn)的每臺補(bǔ)貼萬元,購買外地企業(yè)生產(chǎn)的每臺補(bǔ)貼萬元.但本市本年度所有購買新能源汽車的補(bǔ)貼每臺的期望值不超過萬元.則購買外地產(chǎn)的新能源汽車每臺最多補(bǔ)貼多少萬元?
附:,其中.
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