Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{x}{{e}^{x}}，x≤0}\\{\frac{lnx}{x}，x＞0}\end{array}\right.$，g（x）=-4^x+a•2^x+1+a²+a-1（a∈R），若f（g（x））＞e對x∈R恒成立（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），則a的取值范圍是[-1，0]．

Answer 1

分析 求得f（x）的值域，討論當x≤0時，當x＞0時，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性可得范圍，令t=g（x），則f（t）＞e，即有t≤0，則$\frac{-t}{{e}^{t}}$＞e，解得t＜-1，即-4^x+a•2^x+1+a²+a-1＜-1，由指數(shù)函數(shù)的值域和二次函數(shù)的最值的求法，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：當x≤0時，f（x）=$\frac{-x}{{e}^{x}}$≥0，
f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{x-1}{{e}^{x}}$＜0，
即f（x）遞減，則f（x）≥0；
當x＞0時，f（x）=$\frac{lnx}{x}$的導(dǎo)數(shù)為$\frac{1-lnx}{x}$，
當x＞e時，f（x）遞減；當0＜x＜e時，f（x）遞增．
則x=e處取得極大值，且為最大值$\frac{1}{e}$，
即有f（x）≤$\frac{1}{e}$．
令t=g（x），則f（t）＞e，
即有t≤0，則$\frac{-t}{{e}^{t}}$＞e，
即e^t+1+t＜0，由y=e^t+1+t在t≤0遞增，
且t=-1時，y=0，可得t＜-1．
可得g（x）＜-1恒成立，
即有-4^x+a•2^x+1+a²+a-1＜-1，即有-4^x+a•2^x+1+a²+a＜0，
當a＞0時，y=-（2^x-a）²+2a²+a＜0，
由2^x＞0，可得2^x=a時，取得最大值2a²+a，
可得2a²+a＜0不成立；
當a≤0時，y=-（2^x-a）²+2a²+a＜0，
由2^x＞0，-a≥0，y＜a²+a，
可得a²+a≤0，解得-1≤a≤0．
綜上可得a的范圍是[-1，0]．
故答案為：[-1，0]．

點評 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運用分段函數(shù)的值域，以及換元法，考查單調(diào)性的運用和不等式的解法，屬于中檔題．