Question

【題目】已知橢圓的焦距為，且過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）若不經(jīng)過點的直線與交于兩點，且直線與直線的斜率之和為，證明：直線的斜率為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）由已知條件先求出橢圓的半焦距，再把代入橢圓方程，結(jié)合性質(zhì) ，求出 、 、，即可求出橢圓的方程；（2）設(shè)直線的方程為與橢圓的方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理及過兩點的斜率公式，利用直線的斜率之和為零可得，從而可得結(jié)果.

試題解析：（1）因為橢圓的焦距為，且過點，所以.因為，解得，所以橢圓的方程為.

（2）設(shè)點，則，由消去得，（*）則，因為，即，化簡得.即.（**）代入得，整理得，所以或.若，可得方程（*）的一個根為，不合題意，所以直線的斜率為定值，該值為.

【方法點晴】本題主要考查待定系數(shù)求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系和過兩點的斜率公式，屬于難題.用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點在軸上，還是在軸上，還是兩個坐標(biāo)軸都有可能；②設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程或 ；③找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求.