Question

18．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足a_n+3S_nS_n-1=0（n≥2，n∈N₊），a₁=$\frac{1}{3}$，則na_n的最小值為$-\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由題意可得數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以3為首項，以3為公差的等差數(shù)列，求出其前n項和后代入na_n，然后由數(shù)列的函數(shù)特性求得na_n的最小值．

解答 解：∵a_n+3S_nS_n-1=0（n≥2，n∈N₊），
∴S_n-S_n-1+3S_nS_n-1=0，
∵a₁=$\frac{1}{3}$，∴S_n•S_n-1≠0，
化簡得：$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}=3$，（n≥2，n∈N₊），
∴數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以3為首項，以3為公差的等差數(shù)列，
則$\frac{1}{{S}_{n}}=3+3（n-1）=3n$，${S}_{n}=\frac{1}{3n}$，
從而$n{a}_{n}=n（{S}_{n}-{S}_{n-1}）=n（\frac{1}{3n}-\frac{1}{3（n-1）}）$=$\frac{1}{3}（1-\frac{1}{1-\frac{1}{n}}）\\;（n≥2）$（n≥2），
要使na_n最小，則需$1-\frac{1}{n}$最小，即n=2時最小，
此時$n{a}_{n}=\frac{1}{3}（1-2）=-\frac{1}{3}$．
當(dāng)n=1時，$n{a}_{n}=1×{a}_{1}=1×\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$$＞-\frac{1}{3}$，
故對任意n∈N^*，na_n的最小值為$-\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，是中檔題．