Question

17．已知：函數(shù)f（x）=|1-3x|+3+ax．
（1）若a=-1，解不等式f（x）≤5；
（2）若函數(shù)f（x）有最小值，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若a=-1，不等式f（x）≤5，即為|3x-1|≤x+2，去掉絕對值解不等式f（x）≤5；
（2）分析知函數(shù)f（x）有最小值的充要條件為$\left\{{\begin{array}{l}{3+a≥0}\\{a-3≤0}\end{array}}\right.$，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=-1時，f（x）=|3x-1|+3-x，所以不等式f（x）≤5，即為|3x-1|≤x+2，討論：
當(dāng)$x≥\frac{1}{3}$時，3x-1-x+3≤5，解之得$\frac{1}{3}≤x≤\frac{3}{2}$；
當(dāng)$x＜\frac{1}{3}$時，-3x+1-x+3≤5，解之得$-\frac{1}{4}≤x＜\frac{1}{3}$，
綜上，原不等式的解集為$\left\{{x|-\frac{1}{4}≤x≤\frac{3}{2}}\right\}$…（5分）
（2）$f（x）=|{3x-1}|+ax+3=\left\{{\begin{array}{l}{（{3+a}）x+2，x≥\frac{1}{3}}\\{（{a-3}）x+4，x＜\frac{1}{3}}\end{array}}\right.$，
分析知函數(shù)f（x）有最小值的充要條件為$\left\{{\begin{array}{l}{3+a≥0}\\{a-3≤0}\end{array}}\right.$，即-3≤a≤3…（10分）

點評 本題考查不等式的解法，考查絕對值的幾何意義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．