Question

10．某小區(qū)內(nèi)有一塊荒地ABCDE，今欲在該荒地上劃出一塊長(zhǎng)方形地面（不改變方位）進(jìn)行開發(fā)（如圖所示），問(wèn)如何設(shè)計(jì)才能使開發(fā)的面積最大？最大開發(fā)面積是多少？（已知BC=210m，CD=240m，DE=300m，EA=180m）

Answer 1

分析 設(shè)計(jì)長(zhǎng)方形公寓分三種情況：當(dāng)一端點(diǎn)在BC上時(shí)，只有在B點(diǎn)時(shí)長(zhǎng)方形BCDB₁面積最大；當(dāng)一端點(diǎn)在EA邊上時(shí)，只有在A點(diǎn)時(shí)長(zhǎng)方形AA₁DE的面積最大；當(dāng)一端點(diǎn)在AB邊上時(shí)，設(shè)該點(diǎn)為M，則可構(gòu)造長(zhǎng)方形MNDP，并補(bǔ)出長(zhǎng)方形OCDE．由此能求出結(jié)果．

解答 解：如圖所示，設(shè)計(jì)長(zhǎng)方形公寓分三種情況
①當(dāng)一端點(diǎn)在BC上時(shí)，只有在B點(diǎn)時(shí)長(zhǎng)方形BCDB₁面積最大，
∴S₁=210×240=50400m²．
②當(dāng)一端點(diǎn)在EA邊上時(shí)，只有在A點(diǎn)時(shí)長(zhǎng)方形AA₁DE的面積最大，
∴S₂=180×300=54000m²．
③當(dāng)一端點(diǎn)在AB邊上時(shí)，設(shè)該點(diǎn)為M，則可構(gòu)造長(zhǎng)方形MNDP，并補(bǔ)出長(zhǎng)方形OCDE．
設(shè)MQ=x（0≤x≤60），∴MP=PQ-MQ=240-x．
又OA=60，OB=90，則$\frac{60}{90}=\frac{x}{QB}$，∴QB=$\frac{3}{2}$x，
∴MN=QC=QB+BC=$\frac{3}{2}$x+210，
∴S₃=S_MNDP=MN•MP=（$\frac{3}{2}$x+210）•（240-x）
=-$\frac{3}{2}$（x-50）²+54150，
當(dāng)x=50時(shí)，S₃=54150．比較S₁，S₂，S₃，得S₃最大，
此時(shí)MQ=50m，BM=25$\sqrt{13}$m，
故當(dāng)長(zhǎng)方形一端點(diǎn)落在AB邊上離B點(diǎn)25$\sqrt{13}$m處時(shí)公寓占地面積最大，最大面積為54150m²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)在生產(chǎn)生活中的具體運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．