Question

20．已知α∈（0，$\frac{π}{2}$），且cos（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{5}{13}$，則sinα=$\frac{{7\sqrt{2}}}{26}$．

Answer 1

分析 由已知可求范圍α+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sin（α+$\frac{π}{4}$）的值，進(jìn)而根據(jù)兩角差的正弦函數(shù)公式，特殊角的三角函數(shù)值即可化簡(jiǎn)求值．

解答 解：∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），且cos（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{5}{13}$，
∴α+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+\frac{π}{4}）}$=$\frac{12}{13}$，
∴sinα=sin[（α+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]=sin（α+$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$-cos（α+$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$=$\frac{12}{13}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{5}{13}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{{7\sqrt{2}}}{26}$．
故答案為：$\frac{{7\sqrt{2}}}{26}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角差的正弦函數(shù)公式，特殊角的三角函數(shù)值在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．