Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x-a（x+1）ln（x+1），（x＞-1，a≥0）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，若方程f（x）=t在[-

1

2

，1]上有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）在定義域上零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：計(jì)算題,綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）將a=1代入函數(shù)表達(dá)式化簡，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷單調(diào)區(qū)間，再求極值與端點(diǎn)上的函數(shù)值，結(jié)合函數(shù)圖象求出實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（2）對f（x）求導(dǎo)，討論a的取值確定導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，對a＞0時(shí)，討論f（x）_max的正負(fù)，從而確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x-（x+1）ln（x+1），（x＞-1），
f′（x）=-ln（x+1），
則當(dāng)x∈[-

1

2

，0）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f′（x）＜0，
則f（x）在[-

1

2

，0]上單調(diào)遞增，在[0，1]上單調(diào)遞減，
又∵f（0）=0-（0+1）ln（0+1）=0，
f（1）=1-（1+1）ln（1+1）=1-ln4，
f（-

1

2

）=-

1

2

-（-

1

2

+1）ln（-

1

2

+1）=-

1

2

+

1

2

ln2，
f（1）-f（-

1

2

）=

3

2

-ln4

2

＜0，
∴當(dāng)t∈[-

1

2

+

1

2

ln2，0）時(shí)，方程f（x）=t有兩個(gè)實(shí)數(shù)解．
（2）∵f（x）=x-a（x+1）ln（x+1），
∴f′（x）=1-aln（x+1）-a，
①a=0時(shí)，f（x）=x在（-1，+∞）上有一個(gè)零點(diǎn)0，
②當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）=1-aln（x+1）-a＞0可解得，
-1＜x＜e

1-a

a

-1，
則f（x）在（-1，e

1-a

a

-1]上單調(diào)遞增，在[e

1-a

a

-1，+∞）上單調(diào)遞減，
f（x）_max=f（e

1-a

a

-1）=ae

1-a

a

-1=a（e

1-a

a

-

1

a

），
令g（a）=e

1-a

a

-

1

a

=e

1

a

-1-

1

a

，令

1

a

=t，（t＞0）
則h（t）=e^t-1-t，（t＞0）
則h′（t）=e^t-1-1，t＞0
則h（t）_min=h（1）=0，
當(dāng)t=1，即a=1時(shí)，f（x）_max=ag（a）=0，
f（x）有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)t≠1，即a≠1時(shí)，f（x）_max=ag（a）＞0，
f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．
綜上所述，
當(dāng)a=0或a=1時(shí)，函數(shù)f（x）在定義域上有1個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)a≠0且a≠1時(shí)，函數(shù)f（x）在定義域上有2個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了分類討論的思想，屬于難題．