Question

24、已知α₁，α₂，…α_n∈（0，π），n是大于1的正整數(shù)，求證：|sin（α₁+α₂+…+α_n）|＜sinα₁+sinα₂+…+sinα_n．

Answer 1

分析：我們用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，先證明不等式|sin（α₁+α₂+…+α_n）|＜sinα₁+sinα₂+…+sinα_n當(dāng)n=2時(shí)成立，再假設(shè)不等式|sin（α₁+α₂+…+α_n）|＜sinα₁+sinα₂+…+sinα_n當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)成立，進(jìn)而證明當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式|sin（α₁+α₂+…+α_n）|＜sinα₁+sinα₂+…+sinα_n也成立，最后得證不等式．

解答：證明：下面用數(shù)學(xué)歸納法證明
（1）n=2時(shí)，|sin（α₁+α₂）|-|sinα₁cosα₂+cosα₁sinα₂|≤sinα₁|cosα₂|+|cosα₁|•|sinα₂|＜sinα₁+sinα₂，
所以n=2時(shí)成立．
（2）假設(shè)n=k（k≥2）時(shí)成立，即
|sin（α₁+α₂+Λ+α_k）|＜sinα₁+sinα₂+Λ+sinα_k
當(dāng)n=k+1時(shí)，|sin（α₁+α₂+Λ+α_k+1）|=
=|sinα_k+1cos（α₁+Λα_k）+cosα_k+1sin（α₁+Λα_k）|
≤sinα_k+1|cos（α₁+Λ+α_k）|+|cosα_k+1|•|sin（α₁+Λα_k）|
＜sinα_k+1+|sin（α₁+Λα_k）|
＜sinα₁+sinα₂+Λ+sinα_k+1
∴n=k+1時(shí)也成立．
由（1）（2）得，原式成立．

點(diǎn)評：數(shù)學(xué)歸納法常常用來證明一個(gè)與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時(shí)成立（由于本題要求n為大于1的整數(shù)，故本題第一步為n=2時(shí)）；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數(shù)n都成立．