【題目】將所有平面向量組成的集合記作, 是從的映射, 記作, 其中都是實數(shù). 定義映射的模為: 的條件下的最大值, 記做. 若存在非零向量, 及實數(shù)使得, 則稱的一個特征值.

, ;

如果, 計算的特征值, 并求相應(yīng)的;

試找出一個映射, 滿足以下兩個條件: ①有唯一的特征值, . (不需證明)

【答案】(1)1(2) ,, , (3)見解析.

【解析】

(1)由新定義可得=,利用=1,可得1,從而可得結(jié)論;

(2)由特征值的定義可得:,由此可得f的特征值,及相應(yīng)的

(3)解方程組,可得x1(a1﹣λ,b1)+x2(a2,﹣b1﹣λ)=0,從而可得a1,a2,b1,b2應(yīng)滿足的條件,當(dāng)f()=λ時,f有唯一的特征值,且||f||=|λ|,再進行證明即可.

(1)由于此時=

又因為是在=1的條件下,有==≤1(x21時取最大值),

所以此時有||f||=1;

(2)由f(x1,x2)=(x1+x2,x1﹣x2)=λ(x1,x2),可得:

解此方程組可得:(λ﹣1)(λ+1)=1,從而λ=±

當(dāng)λ=時,解方程組,此時這兩個方程是同一個方程,

所以此時方程有無窮多個解,為(寫出一個即可),其中mR且m≠0.

當(dāng)λ=﹣時,同理可得,相應(yīng)的(寫出一個即可),其中mR且m≠0.

(3)解方程組,可得x1(a1﹣λ,b1)+x2(a2,﹣b1﹣λ)=0

從而向量(a1﹣λ,b1)與(a2,﹣b1﹣λ)平行,

從而有a1,a2,b1,b2應(yīng)滿足:

當(dāng)f()=λ時,f有唯一的特征值,且||f||=|λ|.

具體證明為:

由f的定義可知:f(x1,x2)=λ(x1,x2),所以λ為特征值.

此時a1=λ,a2=0,b1=0,b2=λ滿足:,所以有唯一的特征值.

=1的條件下2,從而有||f||=|λ|.

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(1)記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”,估計A的概率;

(2)填寫下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān):

箱產(chǎn)量<50 kg

箱產(chǎn)量≥50 kg

舊養(yǎng)殖法

新養(yǎng)殖法

(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖,對這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進行比較.

附:

P

0.050 0.010 0.001

k

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.

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