Question

已知x、y、z為正實數(shù)，x²+xy+2y²-z=0，當(dāng)

(x+y)y

z

取最大值時，

lnx

y

的最大值為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：化簡

(x+y)y

z

=

xy+y2

x2+xy+2y2

=

x y +1

( x y )2+ x y +2

，利用換元法，令

x

y

+1=m＞1，從而化簡為

1

m-1+ 2 m

，利用基本不等式可得，當(dāng)

x

y

+1=

2

時，有最大值，從而求得y=（

2

+1）x，則

lnx

y

=

lnx

( 2 +1)x

，再令f（x）=

lnx

x

，由導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最大值，從而得到

lnx

y

的最大值．

解答： 解：由題意，z=x²+xy+2y²，
則

(x+y)y

z

=

xy+y2

x2+xy+2y2

=

x y +1

( x y )2+ x y +2

，
令

x

y

+1=m＞1，
則原式=

m

m2-m+2

=

1

m-1+ 2 m

，
∵m+

2

m

≥2

2

，（當(dāng)且僅當(dāng)m=

2

時，等號成立），
則

(x+y)y

z

的最大值為

1

2 2 -1

，此時，

x

y

+1=

2

，
則y=（

2

+1）x，
則

lnx

y

=

lnx

( 2 +1)x

，
令f（x）=

lnx

x

，
則f′（x）=

1 x x-lnx

x2

=

1-lnx

x2

，則f（x）先增后減，
則f（x）_max=f（e）=

1

e

，
則

lnx

y

的最大值為

1

( 2 +1)e

=

2 -1

e

．
故答案為：

2 -1

e

．

點評：本題考查了學(xué)生的化簡能力及導(dǎo)數(shù)，基本不等式和換元法的綜合應(yīng)用，屬于難題．