Question

12．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)$A（{\frac{1}{4}，1}），若M（{x，y}）$滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}x+y≥2\\ x≤1\\ y≤2\end{array}\right.，則\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{OA}$的最小值是$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 由題意作出其平面區(qū)域，由$\overrightarrow{OM}$=（x，y），$\overrightarrow{OA}$=（$\frac{1}{4}$，1），從而令z=$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OA}$=$\frac{1}{4}x$+y，再化為y=-$\frac{1}{4}x$+z，z相當(dāng)于直線y=-$\frac{1}{4}x$+z的縱截距，由幾何意義可得．

解答 解：由題意作出其平面區(qū)域，

$\overrightarrow{OM}$=（x，y），$\overrightarrow{OA}$=（$\frac{1}{4}$，1），
故令z=$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OA}$=$\frac{1}{4}x$+y；
可化為y=-$\frac{1}{4}x$+z，
故過(guò)點(diǎn)E（1，1）時(shí)，
z=$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OA}$=$\frac{1}{4}x$+y有最小值$\frac{1}{4}$+1=$\frac{5}{4}$；
故答案為：$\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡(jiǎn)單線性規(guī)劃及向量的數(shù)量積的應(yīng)用，作圖要細(xì)致認(rèn)真，屬于中檔題．