Question

4．設(shè)x為△ABC的一個(gè)內(nèi)角．函數(shù)f（x）=sinx+cosx．
（1）求x為何值時(shí)．f（x）有最大值？并求出該最大值．
（2）若f（x）=$\frac{1}{2}$，求cos2x．

Answer 1

分析 （1）利用輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的最值求得f（x）的最大值．
（2）根據(jù)f（x）=$\frac{1}{2}$，求得sin（x+$\frac{π}{4}$）的值，可得 cos（x+$\frac{π}{4}$） 的值，再利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式求得cos2x的值．

解答 解：（1）∵x為△ABC的一個(gè)內(nèi)角，∴x∈（0，π），∵函數(shù)f（x）=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
且x+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$），故當(dāng)x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{4}$時(shí)，f（x）有最大值為$\sqrt{2}$．
（2）若f（x）=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，則sin（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{4}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴x+$\frac{π}{4}$＞$\frac{3π}{4}$，
∴cos（x+$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}（x+\frac{π}{4}）}$=-$\frac{\sqrt{14}}{4}$，
此時(shí)，cos2x=sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2sin（x+$\frac{π}{4}$） cos（x+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{7}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查輔助角公式，正弦函數(shù)的最值，二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．