Question

17．一臺(tái)儀器每啟動(dòng)一次都隨機(jī)地出現(xiàn)一個(gè)5位的二進(jìn)制數(shù)$A=\overline{{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}}$，其中A的各位數(shù)字中a₁=1，a_k（k=2，3，4，5）出現(xiàn)0的概率為$\frac{1}{3}$，a_k（k=2，3，4，5）出現(xiàn)1的概率為$\frac{2}{3}$，記X=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅．當(dāng)啟動(dòng)儀器一次時(shí)，
（Ⅰ）求X=3的概率；
（Ⅱ）求隨機(jī)變量X的分布列及X的數(shù)學(xué)期望，并指出當(dāng)X為何值時(shí)，其概率最大．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出X=3時(shí)的概率即可；
（Ⅱ）由題意可知X可取的值為1，2，3，4，5，分別求出相對(duì)應(yīng)的概率，求出分布列，進(jìn)而求出其期望值．

解答 解：（Ⅰ）由題意得$P（X=3）=C_4^2{（\frac{1}{3}）^2}（\frac{2}{3}）=\frac{8}{27}$；
（Ⅱ）由題意可知X可取的值為1，2，3，4，5，
它們的概率為：$P（X=1）=C_4^0{（\frac{1}{3}）^4}=\frac{1}{81}$，$P（X=2）=C_4^1（\frac{2}{3}）{（\frac{1}{3}）^3}=\frac{8}{81}$，
$P（X=3）=C_4^2{（\frac{2}{3}）^2}{（\frac{1}{3}）^2}=\frac{24}{81}$，$P（X=4）=C_4^3{（\frac{2}{3}）^3}（\frac{1}{3}）=\frac{32}{81}$，
$P（X=5）=C_4^4{（\frac{2}{3}）^4}=\frac{16}{81}$，
故其分布列為

X	1	2	3	4	5
P	$\frac{1}{81}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{24}{81}$	$\frac{32}{81}$	$\frac{16}{81}$

∴$E（X）=\frac{1}{81}（1+16+72+128+80）=\frac{11}{3}$，
當(dāng)X=4時(shí)，其概率最大．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了離散型隨機(jī)變量，考察分布列及方差，是一道中檔題．