Question

18．已知在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$．
（1）求證：數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列；
（2）記S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，試比較2S_n與1的大�。�

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$．兩邊取倒數(shù)可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=2，利用等差數(shù)列的定義即可證明；
（2）由（1）可得：$\frac{1}{{a}_{n}}$=2n-1，可得：a_na_n+1=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用“裂項求和”與“放縮法”即可得出．

解答 （1）證明：∵a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$．
兩邊取倒數(shù)可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=2，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列，首項為1，公差為2；
（2）解：由（1）可得：$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴a_n=$\frac{1}{2n-1}$．
∴a_na_n+1=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$，
∴2S_n=1-$\frac{1}{2n+1}$＜1，
即2S_n＜1．

點評 本題考查了等差數(shù)列的定義、“裂項求和”與“放縮法”，考查了推力能力與計算能力，屬于中檔題．