Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a}{{x}^{2}+2lnx}$，若當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f（x）≥2恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[8+4ln2，+∞）．

Answer 1

分析 當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f（x）≥2恒成立，即為當(dāng)1＜x＜2時(shí)，$\frac{a}{{x}^{2}+2lnx}$≥2恒成立，令g（x）=x²+2lnx，運(yùn)用參數(shù)分離和導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，即可求得a的范圍．

解答 解：當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f（x）≥2恒成立，
即為當(dāng)1＜x＜2時(shí)，$\frac{a}{{x}^{2}+2lnx}$≥2恒成立，
令g（x）=x²+2lnx，
則g′（x）=2x+$\frac{2}{x}$＞0恒成立，
即有g(shù)（x）在（1，2）遞增，
則1＜g（x）＜4+2ln2，
即有$\frac{a}{2}$≥g（x）在（1，2）恒成立，
則$\frac{a}{2}$≥4+2ln2，
解得a≥8+4ln2．
故答案為：[8+4ln2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值或值域問題，注意運(yùn)用參數(shù)分離和導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，屬于中檔題．