Question

8．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若n，a_n，S_n構(gòu)成等差數(shù)列．
（1）求證：數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列；
（2）求{a_n}的通項(xiàng)公式，并求使S_n＞2015成立的最小n；
（3）求證：$\frac{n}{2}$-$\frac{1}{3}$＜$\sum_{k=1}^{n}$$\frac{{a}_{k}}{{a}_{k+1}}$＜$\frac{n}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由n，a_n，S_n構(gòu)成等差數(shù)列得到數(shù)列遞推式S_n+n=2a_n，由此求得首項(xiàng)并可證明數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列；
（2）由（1）中的等比數(shù)列求出通項(xiàng)公式，得到${a}_{n}={2}^{n}-1$，代入數(shù)列遞推式得S_n，再由S_n＞2015結(jié)合數(shù)列的函數(shù)特性求得使S_n＞2015成立的最小n的值；
（3）由$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}=\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n+1}-1}=\frac{1}{2}-\frac{\frac{1}{2}}{{2}^{n+1}-1}$，然后直接求$\sum_{k=1}^{n}$$\frac{{a}_{k}}{{a}_{k+1}}$證明不等式右邊；再由$\frac{1}{{2}^{n+2}-2}＜\frac{1}{2（{2}^{n+1}-2）}＜…＜\frac{1}{{2}^{n-1}（{2}^{3}-2）}$=$\frac{1}{6}•（\frac{1}{2}）^{n-1}$，求和后可得不等式左邊．

解答 （1）證明：由n，a_n，S_n構(gòu)成等差數(shù)列，得S_n+n=2a_n，①
取n=1，得a₁=S₁+1=2a₁，a₁=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1+（n-1）=2a_n-1，②
①-②得：a_n+1=2a_n-2a_n-1，即a_n+1=2（a_n-1+1）（n≥2），
∵a₁+1=2≠0，
∴$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n-1}+1}=2$，即數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列；
（2）解：由（1）知，${a}_{n}+1=2•{2}^{n-1}={2}^{n}$，
∴${a}_{n}={2}^{n}-1$，
代入①得：${S}_{n}=2{a}_{n}-n=2（{2}^{n}-1）-n={2}^{n+1}-n-2$，
由S_n＞2015，得2ⁿ⁺¹-n-2＞2015，即2ⁿ⁺¹-n＞2017，
∵函數(shù)f（n）=2ⁿ⁺¹-n為增函數(shù)，且f（9）=1015＜2017，f（10）=2038＞2017，
∴使S_n＞2015成立的最小n的值為10；
（3）證明：∵$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}=\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n+1}-1}=\frac{1}{2}-\frac{\frac{1}{2}}{{2}^{n+1}-1}$，
∴$\sum_{k=1}^{n}$$\frac{{a}_{k}}{{a}_{k+1}}$=$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}+\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}+…+\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=$（\frac{1}{2}-\frac{\frac{1}{2}}{{2}^{2}-1}）+（\frac{1}{2}-\frac{\frac{1}{2}}{{2}^{3}-1}）+…+（\frac{1}{2}-\frac{\frac{1}{2}}{{2}^{n+1}-1}）$=$\frac{n}{2}-（\frac{1}{{2}^{3}-2}+\frac{1}{{2}^{4}-2}+…+\frac{1}{{2}^{n+2}-2}）$$＜\frac{n}{2}$；
∵$\frac{1}{{2}^{n+2}-2}＜\frac{1}{2（{2}^{n+1}-2）}＜…＜\frac{1}{{2}^{n-1}（{2}^{3}-2）}$=$\frac{1}{6}•（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴$\frac{1}{{2}^{3}-2}+\frac{1}{{2}^{4}-2}+…+\frac{1}{{2}^{n+2}-2}＜$$\frac{1}{6}+\frac{1}{6}•\frac{1}{2}+…+\frac{1}{6}•（\frac{1}{2}）^{n-1}$$＜\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）＜\frac{1}{3}$．
∴$\sum_{k=1}^{n}$$\frac{{a}_{k}}{{a}_{k+1}}$=$\frac{n}{2}-（\frac{1}{{2}^{3}-2}+\frac{1}{{2}^{4}-2}+…+\frac{1}{{2}^{n+2}-2}）＞\frac{n}{2}-\frac{1}{3}$．
∴$\frac{n}{2}$-$\frac{1}{3}$＜$\sum_{k=1}^{n}$$\frac{{a}_{k}}{{a}_{k+1}}$＜$\frac{n}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比關(guān)系的確定，考查了放縮法證明數(shù)列不等式，對(duì)于（3）的證明，裂項(xiàng)$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}=\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n+1}-1}=\frac{1}{2}-\frac{\frac{1}{2}}{{2}^{n+1}-1}$是關(guān)鍵，屬難題．